Théorèmes du point fixe positif et application

Abstract

Les théorèmes du point fixe sont des outils de base pour montrer l’existence des solutions dans divers genre d’équations. Le développement de cette théorie du point fixe a été bénéfique pour l’avancement de l’analyse non linéaire, et l’un des objectifs des chercheurs est de donner des conditions suffisantes sur T et X pour que T : X ! X ait un point fixe. La positivité de la solution d’une équation différentielle ordinaire, d’une équation aux dérivées partielle et/ou d’une équation intégrale est très utilisée dans les applications, où une solution positive peut présenter, la densité, la température et mathématiquement cette solution s’exprime comme étant une solution dans un cône. Dans ce mémoire on s’intéresse au théorème du point fixe positif (un point fixe dans un cône) pour les applications compactes. L’indice du point fixe dans un cône d’une application compacte est un outil très important dans l’analyse non-linéaire, car il nous permette d’obtenir plusieurs conditions d’existence d’un point fixe et c’est ce que nous allons voir à travers ce mémoire. Pour cela, on va donner dans le premier chapitre les notions nécessaires qui concerne le concept de l’indice du point fixe qui est intégré dans la théorie du degré topologique. On présente dans le deuxième chapitre quelques théorèmes du point fixe positif. On commence par donner les lemmes essentiels du calcul de l’indice qui permettront par la suite de démontrer certains théorèmes comme le théorème d’expansion et compression d’un cône. Ce chapitre se termine par l’étude de l’existence d’une solution positive pour l’équation abstraite de Hammerstein. Finalement, dans le troisième chapitre, on va essayer d’appliquer les résultats présentés dans les chapitres précédents pour montrer l’existence d’une solution positive de quelques problèmes aux limites associées aux équations différentielles ordinaires.