Optimisation non linéaire et Introduction à l’optimisation globale

Abstract

Ce travail pr´esente une vision globale sur l’optimisation non lin´eaire et l’optimisation globale, qui englobe un sujet tr´es int´eressant qui est la r´esolution d’un probl´eme d’optimisation non lin´eaire sans contraintes et sous contraintes, en utilisant plusieurs m´ethodes comme la m´ethode de descente bas´ee sur le gradient, m´ethode de Newton et les m´ethodes de p´enalit´e. On a dress´e donc, dans le premier chapitre, un aper¸cu g´en´eral sur les notions d’optimisation non lin´eaire, dont on a besoin tout au long de ce m´emoire. Le deuxi`eme et le troisi`eme chapitre sont consacr´es `a l’optimisation non lin´eaire sans et avec contraintes, et les diff´erentes m´ethodes qu’on utilise pour la r´esolution des probl`emes d’optimisation. Dans le dernier chapitre, on a fourni un aper¸cu de l’optimisation globale, on a pr´esent´e l’algorithme de branch-and-bound et celui de Piyavskii qui sont des algorithmes d´eterministes de l’optimisation globale, ´etablis pour optimiser une fonction Lipschitzienne (un cas particulier d’une fonction holderienne) d’une seule variable sur un intervalle [a,b] dans R, aussi on a ´etendu l’algorithme de Piyavskii au cas multidimensionnel selon l’approche de Shubert [18]. Un th´eor`eme de convergence de chacun des deux algorithmes a ´et´e pr´esent´e et des tests num´eriques sur des probl`emes classiques de la litt´erature ont montr´e leurs convergences vers l’optimum global, mais l’algorithme de Piyavskii devient lent au voisinage de l’optimum.